8.1.4  二元关系

  二元关系主要是描述两个集之间元素与元素的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系。相应的有如下定义：

   定义8.6  设A，B为两个非空集合，A×B的任何一个子集R所定义的二元关系称为从A到B的二元关系，简称关（Relation）。如R是从A到A的二元关系，则称R为A上的二元关系。

   由于A×B的子集中的元素都是序偶，因此，换句话说，任何序偶的集合都是一个二元关系。此时，设有一序偶：

<x,y>∈R

常把这一事实记为xRy，读作“x对y有关系R”。如：

<x,y>R

则记为xy，读作“x对y没有关系R”。

   上述二元关系有时可以用图8-4表示。

                     图  8-4

  其中，A称为R的前域，B称为R的后域，CA,DB满足：

C={x|x∈A,y∈B,<x,y>∈R}

D={y|y∈B,x∈A,<x,y>∈R}

  称C为R的定义域（Domain），记为C=domR；称D为R的值域（Range），记为C=ranR；称fldR=domR∪ranR为R的域（field）。

  例8.6  设R₁={<x,y>|(x,y∈Z)∧{x≤y}}

R₂={<x,y>|(x,y∈Z)∧{x²+y²=1}}

R₃={<x,y>|(x,y∈Z)∧{y=2x}}

R₄={<x,y>|(x,y∈Z)∧{|x|=|y|=3}}

  都是定义在整数集Z上的关系，求它们的定义域、值域和域。

     解  domR₁= Z，          ranR₁= Z，              fldR₁=Z；

        domR₂={0,1,-1}，                ranR₂={0,1, -1}，              fldR₂={0,1, -1}；

        domR₃= Z，                      ranR₃=E，                       fldR₃=Z；

        domR₄={3, -3},                  ranR₄={3, -3}，                 fldR₄={3, -3}。

  由于任何A×B的子集都是一个二元关系，按照子集的定义，知A×B共有2^|A|•|B|个不同的子集。因此，从A到B不同的关系共有2^|A|•|B|个。

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