Milieu

Définitions Milieu d'un segment Construction du milieu d'un segment Notes sur segment, paire et couple.

Définitions:

Ces deux mots, milieu et centre sont souvent confondus.
Le mot "milieu" est utilisé lorsque l'on parle de segment ou de paire de points.
Le mot "centre" est utilisé lorsque l'on parle de cercle ou de l'intersection de certaines droites particulières d'un triangle ou de l'intersection des diagonales d'un parallélogramme ou encore de symétrie centrale.

Milieu d'un segment:

Le milieu d'un segment est un point de ce segment situé à égale distance ( équidistant de) de ses extrémités:

L'idée de milieu est intimement liée à l'idée d'alignement de points.
Le théorème réciproque est vrai ( à condition de ne pas oublier le fait que les 3 points sont alignés, chose qui arrive souvent dans les démonstrations...): ce qui est écrit ci-dessus en rouge l'est maintenant en vert après le "SI" et ce qui était écrit en vert l'est en rouge après le "ALORS". Cette réciproque est un bon outil pour prouver qu'un point est le milieu d'un segment( ou d'une paire de points).

Remarque: les différences de notations: AM est la notation utilisée pour une distance, c'est à dire un nombre, alors que [AB] est une notation qui désigne une infinité de points alignés.

Construction du milieu d'un segment:

Pour construire le milieu d'un segment, vous pouvez utiliser l'une des méthodes suivantes:

• Mesurer avec un double décimètre la longueur du segment, diviser par 2 ce nombre. Le nombre obtenu est la distance du milieu du segment à ses extrémités. C'est la méthode la plus utilisée mais la moins conseillée par manque de précision.
• Tracer la médiatrice du segment. Cette médiatrice est une droite qui coupe le segment en son milieu. Pointer l'intersection de cette droite avec le segment et gommer cette droite si elle n'est pas utile par la suite ou si elle encombre la figure.

Notes sur segment, paire et couple:

[AB] ou {A,B} ?

1.Un segment contient une infinité de points alignés. Il a deux extrémités A et B. L'écriture des crochets a son importance:

- ]A ou B[ signifient que l'extrémité A ou B n'appartient pas au segment. Dans ce cas on dit que le segment est ouvert en cette extrémité: ]AB] segment ouvert en A ou [AB[ segment ouvert en B. Le segment peut bien sûr être ouvert en ses deux extrémités: ]AB[. Dans ce cas on dit que le segment est ouvert, sans préciser.

- [A ou B] signifient que l'extrémité A ou B appartient au segment. Dans ce cas on dit que le segment est fermé en cette extrémité. Le segment peut bien sûr être fermé en ses deux extrémités. Dans ce cas on ne précise rien: on dit "le segment [AB]". C'est le cas qui est essentiellement étudié en 4ème de collège.

- cette utilisation des crochets se retrouve en algèbre lorsque l'on désire représenter une double inégalité, par exemple:

Le milieu d'un segment fait donc partie des points de ce segment. Ce n'est qu'un point particulier important de ce segment.

Le point C appartient au segment [AB] lorsque AC + CB = AB. Si AC + CB est supérieure à AB alors le point C est extérieur au segment [AB]. Il s'agit d'une propriété importante des distances (inégalité triangulaire)

2.Une paire de points ne contient que deux points et est notée par {A, B} (avec deux accolades) qui se lit: paire AB. Le milieu d'une paire de points n'est donc pas contenu dans cette paire. Pour le placer exactement sur une figure, il suffit de tracer tous les points alignés entre A et B (avec une règle bien sûr), de placer le milieu comme pour un segment et de gommer ce qui est inutile.
La paire {A, B} et la paire {B, A} désigne le même ensemble contenant deux objets de même nature (ici des points). On peut avoir des paires de n'importe quels objets (nombres, lacets,...).

3. Un couple de points est désigné à l'aide de deux ... points et d'une paire de parenthèses : (A,B). On peut avoir des couples de n'importe quels objets. Un couple désigne un nouvel objet (géométrique ou algébrique) totalement différent des objets qui le composent . Un couple de nombres comme (-5 ; 3) désigne non pas un nombre, ni un ensemble de nombres mais, par exemple, les coordonnées d'un point dans un repère.
Le couple (-5 ; 3) et le couple (3 ; -5) sont différents. Ils sont dits opposés. Dans un repère, ces deux couples sont les coordonnées de deux points distincts (ils sont symétriques par rapport à l'origine du repère).
Un couple de points n'a pas de milieu.

 

© Lallet Gérard 2003-2004